Só existe uma lógica dentro de uma outra!

O Teorema da Incompletude de Gödel diz:“Qualquer coisa em que você pode desenhar um círculo ao redor não pode ser explicada por si mesma sem se referir a algo fora do círculo – algo que você tem que assumir mas não pode provar.

Entre uma temporada e outra de internação nos hospícios austríacos, um matemático de nome Kurt Friedrich Gödel, fez um rasgo tão profundo na nossa compreensão da realidade que até hoje ela está sangrando. O Teorema da completude de Gödel é a prova lógica de que, em última instância, tanto os cientístas quanto os padres estão todos construindo castelos de sonhos em bases igualmente arbitrárias, e que não existe nem a possibilidade de tentarem provar que suas ilusões são reais. Não há como confirmar se aquilo no que eles acreditam, ou por extensão aquilo que você acredita, é real, certo ou ao menos lógico.

A coisa funcionaria, de forma resumida e simplficada, da seguinte forma.:

Imagine que você está lendo isso logo antes do almoço, naquele dia que não conseguiu tomar seu café da manhã, nem comprar aqueles pacotes de bolacha de R$ 1 real para ficar beliscando. O tempo vai passando e a fome vai aumentando, até que você começa a se incomodar com aqueles banneres de sites de compra coletiva que mostram macarrons, sushis e cortes de picanha ao ponto. Neste momento, que a fome se torna uma sensação física para você eu te desafio: me prove que está com fome! Claro que você pode dizer "me traga comida e eu te mostro!". Mas então eu me lembro de certas vezes que depois de jantar surge alguém querendo sair para papear e iariavelmente o papo se desenvolve em um restaurante ou bar onde porções ou pratos são pedidos, e mesmo estando satisfeito eu comi, e comi bem. Também me lembro de um sobrinho que é capaz de comer feijoada até passar mal, literalmente, para 15 minutos depois sair pedindo comida porque está com fome. Também me lembro de uma conhecida que quando tem muita fome não consegue comer nada porque fica com o estômago embrulhado. E respondo: comer não é prova de fome. Me lembro de pessoas que comem quando estão ansiosas, deprimidas, alegres... e elas comem com mais gosto do que uma criança somaliana comeria um Big Mac. Se comer algo não é prova de fome, o que seria então uma boa prova? Testes para medir o açúcar do sangue? Algum exercício físico para ver se você apresenta sinais de fraqueza? Não isso tudo poderia trazer, na verdade com certeza traria resultados falso-positivos. Vamos tentar algo diferente então. Pense em alguém que você ama. Prove que de fato ama essa pessoa. Opsss... mesmo problema, da mesma forma que não podemos usar a fome para justificar a fome, não podemos usar o amor para justificar o amor e nem mesmo a lógica para justificar a lógica.

Bem, Gödel, em seus lampejos de genialidade que apenas a loucura consegue causar se dedicou a tentar entender isso. Como fome e amor são conceitos muito abstratos ele tentou se apegar àquilo que qualquer animal, até mesmo um humano, teria facilidade em trabalhar. Ele se apegou a números. E para não se perder neles resolveu pegar o grupo mais comum e sem graça de números, os números inteiros (lembre-se que números inteiros são todos os números naturais incluindo o zero e os números negativos, (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). Então ele pensou que qualquer sistema axiomático - ou seja qualquer conjunto de axiomas que podem ser usados para se derivar logicamente qualquer teorema - que possa ser criado para se incluir a aritmética dos números inteiros, ou seja um sistema formado por hipóteses iniciais de onde se derivam enunciados que tem a ver com as possíveis operações matemáticas que envolvam o grupo dos números inteiros não pode ser ao mesmo tempo nem completo e nem consistente.

Bizarro né? 

Sim, literalmente coisa de louco, Gödel não ia aos hospícios para se bronzear. Tecnicamente o que ele falou, em linguagem de pessoas sãs, é que se um sistema tem consistência, ou seja que é estável, ele não pode ser completo, e se é completo não pode ser consistente. Se existe um sistema auto-consistente então existirão proposições que não poderão ser nem comprovadas nem negadas por esse mesmo sistema (ele é incompleto) e caso o sistema seja completo, ele não pode validar a si mesmo (seria inconsistente). Isso significa que você não pode usar a fome para comprovar a fome, que seria necessário um computador fora do universo para entender o universo, que sua língua não pode se auto-saborear e que nós nunca poderemos provar que 2+2=4.

"E por que isso é interessante?" você se pergunta, "por que estou perdendo tempo com isto?"

Vamos começar do básico. Quando disse que não podemos provar que 2+2=4 não quero dizer que você não é capaz de colocar duas bananas na sua frente ao lado de duas pêras e contar que tem quatro frutas. Como dissemos até macacos fazem isso. Mas deixe as frutas de lado e pegue um lápis e um papel e pense no passado. Quando você era uma criancinha, seus professores adoravam abusar de você com tabuadas. Tabuadas de soma, de subtração, de divisão de multiplicação. Se hoje você consegue responder rápido quanto é 5x4 ou 11+3 não é porque saiba calcular, mas é porque decorou. Veja que responder quanto é 7x8 ou 11.347+32 não é tão rápido, apesar de serem contas tão fáceis quanto essas primeiras. Esse condicionamento desde criança serviu para que algumas verdades absolutas fossem colocadas em sua cabeça, assim desde criança você acredita que 2+2 é igual a 4. Mas será que é mesmo? Vejamos, pense em um exemplo da vida real em qeu você lide com números negativos. Qualquer pessoa que já tenha tido ou que tenha um cartão de crédito acha essa fácil. Pense em uma situação onde você lide com frações. Qualquer pessoa que tenha pedido uma pizza para 2 ou mais pessoas também se sai bem dessa. Agora pense em uma situação onde você tenha que lidar com a multiplicação de frações negativas. Onde isso entra no seu cotidiano? Chega uma hora que a coisa só faz sentido no papel.

Então você tem como provar que 2 + 2 = 4. Tem a matemática para isso. Da mesma forma você pode provar matematicamente que isso pode ser provado matematicamente. Não apenas isso, mas podemos provar que é possível provar que é possível provar que 2 + 2 = 4. E isso também pode ser provado.

Agora 2 + 2 não é 23. E nós podemos provar matematicamente que 2 + 2 não é 23. E podemos provar que podemos provar que 2 + 2 não é 23. E podemos provar que podemos provar que podemos provar isso. E isso também pode ser provado.

Assim pode ser provado que 2 + 2 não é 23. Mas poderia ser provado também que 2 + 2 é 23? Parece uma pergunta idiota, mas é algo crucial. Se for possível provar isso onde nossos professores de matemática se esconderiam de vergonha? Seria algo devastador, pois se for possível provar que 2 + 2 = 23, então seria possivel provar que 23 não é 23, pois também podemos provar que 2 + 2 não é 23. Isso significara que não existe nada que não pudesse ser provado, e isso é apenas uma outra forma de dizer que nada é verdadeiro e portanto tudo é permitido e então todas as nossas certezas seriam meras apostas mais ou menos convenientes. 

Ficando confuso? Vou escrever mais devagar então para você tentar acompanhar.

Neste ponto devemos nos perguntar: Existe uma forma de provarmos que não pode ser provado que 2 + 2 = 23? 

Claro que você já deve ter imaginado a resposta chocante de Gödel. Não apenas não podemos, como também jamais poderemos. Mais ainda: se pode ser provado que nunca provaremos que 2 + 2 = 23 então que base temos para afirmar qualquer coisa logicamente? E se nenhum argumento do tipo "prove que X não pode ser provado" pode ser provado então sabemos que a lógica e a matemática são tão inconsistentes quando qualquer outra forma de crença.

Gödel nos mostrou que não podemos entender o universo se fazemos parte do universo, que não podemos compreender a vitamina que estamos fazendo se estamos presos dentro do liquidificador. Para isso seria necessário que uma mente ou um computador de fora de nosso universo nos analisasse. E você achava engraçado aquele papo de 42 e a pergunta correta não poderem co-existir na mesma realidade, tsc, tsc...

Agora, isso tudo seria já um papo interessante de bar se parasse por ai, mas lembre-se do começo do texto: Gödel costumava ser institucionalizado. Em hospícios. Logo, tudo isto apenas serve para o próximo passo lógico - se é que você ainda acredita nessa superstição que chamamos "lógica".

Embora não se possa ser provado que não pode ser provado que 2 + 2 = 23, podemos provar que se pode ser provado que não pode ser provado que 2 + 2 = 23. Então podemos provar que 2 + 2 = 23. Ou seja, se pudesse ser provado que não pode ser provado que 2 + 2 = 23 então também poderia ser provado que 2 + 2 é 23!

Confuso não? Mas este não é um problema da sua capacidade de compreensão mas sim um problema da compreensão de nossa capacidade. Na verdade o que o bom e velho Kurt fez foi expressar matematicamente o antigo paradoxo da auto-referência historicamente atribuído a Epimenides. Epimenides era de Creta e dizia que todos os Cretenses são mentirosos. Isso é como ler um a placa dizendo:

"Esta frase é falsa."

Vamos chamar essa frase de afirmação G em homenagem a Göedel. Agora pergunte a si mesmo, a afirmação G é verdadeira? Se G é verdadeiro então temos uma afirmação válida que é falsa, mas se G é falso então sua afirmação é verdadeira. Ou seja, se a frase for verdade ela é uma mentira, se ela for uma mentira então ela é verdadeira. É a mesma coisa que você pedir para o Pinocchio dizer a frase: "Agora meu nariz vai crescer!" o que acha que vai acontecer?Isso não quer dizer que devemos abandonar a lógica e sair por ai passando Amendocrem nas genitálias das crianças, mas quer dizer que G é incompleto. O mesmo pode ser feito com qualquer outro sistema, mostrando que não apenas haverão erros que jamais poderão ser provados como sendo erros, como também haverão verdades que não poderão ser provadas. E isso não apenas na matemática. Pense em Deus, amor, na crença que chocolate é gostoso e fígado ruim, que aquilo que você acredita ser correto é realmente correto. São coisas que não poderão ser provadas ou descartadas nunca, não de uma forma que possamos compreender.

Os teoremas da incompletude de Kurt Godel, vêm por um fim dramático à tentativa de unificar a matemática num sistema formal como propôs Hilbert. As consequências na ciência, uma vez que esta assenta fortemente na matemática, nomeadamente a física, podem ser ou significar que não é possível chegar a uma Teoria de Tudo. Em relação à sua aplicação na inteligência humana a discussão também está em aberto. Pode-se especular que tem implicações na avaliação da nossa capacidade de distinguir o que é verdadeiro ou falso. Godel foi o primeiro a falar sobre o tema e concluiu que: “ou a mente não era equivalente a uma maquina finita ou que haveria determinadas equações diofantinas para as quais não era possível encontrar uma solução”.
Os teoremas de Godel dizem que é impossível definir um sistema de axiomas completo que seja simultaneamente consistente. Isto é, ou é completo ou é consistente.
Um sistema diz-se completo, se dentro dele, podemos provar qualquer afirmação ou a sua negação a partir dos axiomas. Os axiomas são os alicerces do sistema, são as afirmações iniciais que se consideram evidentes e sem necessidade de prova.
Um sistema diz-se consistente se não podemos provar simultaneamente uma afirmação e a sua negação.
De grosso modo pode exprimir-se o primeiro teorema assim:
Para cada teorema T temos uma afirmação G que diz “esta afirmação não pode ser provada em T.
Se G pode ser provada dentro dos axiomas e regras de T então temos um teorema G que se contradiz a si próprio, pelo que a teoria é inconsistente.
Isto significa que se a teoria é consistente, então não podemos provar G, e assim a afirmação de G acerca de não poder ser provado é correcta. G é verdade mas não pode ser provado. A teoria então é incompleta.

É possivel definir uma teoria maior T' que contenha a totalidade de T mais a afirmação G como um axioma. Contudo, pelo teorema da Godel, então haverá uma nova afirmação G' capaz de mostrar que T' é também incompleta. E então nós podemos definir uma teoria T'' que contenha a totalidade de T' mais a afirmação G'... E assim por aí fora. Haverá sempre uma afirmação godeliana que determina a ultima teoria incompleta..A descoberta de Gödel não se aplica somente à matemática, mas literalmente a todos os ramos da ciência, lógica e conhecimento humano. Ela tem verdadeiramente implicações que abalam a Terra.Estranhamente, poucas pessoas sabem qualquer coisa sobre ela.Permita-me contar-lhe a história.Os matemáticos adoram provas. Eles estavam furiosos e chateados por séculos, porque eles eram incapazes de PROVAR algumas das coisas que eles sabiam que era verdade.Por exemplo: se você estudou geometria no colégio, você fez os exercícios onde você prova todos os tipos de coisas sobre os triângulos, baseado em uma lista de teoremas.Aquele livro de geometria do colégio é feito sobre os cinco postulados de Euclides. Todos sabem que os postulados são verdadeiros, mas em 2500 anos ninguém imaginou um meio de prová-los.Sim, parece sim perfeitamente razoável que uma linha possa ser estendida infinitamente em ambas as direções, mas ninguém tem sido capaz de PROVAR isso. Nós só podemos demonstrar que eles são um conjunto de 5 suposições razoáveis e de fato necessárias.Grandes gênios matemáticos estavam frustrados por mais de 2000 anos porque eles não podiam provar todos os seus teoremas. Havia muitas coisas que eram “obviamente” verdade, mas ninguém conseguia imaginar um meio de prová-los.No início dos anos 1900, entretanto, um tremendo senso de otimismo começou a crescer nos círculos matemáticos. Os matemáticos mais brilhantes do mundo (como Bertrand Russell, David Hilbert e Ludwig Wittgenstein) estavam convencidos que estavam rapidamente se aproximando de uma síntese final.Uma “Teoria de Tudo” unificada, que finalmente amarraria todos os pontos soltos. A matemática seria completa, à prova de balas, hermética, triunfante.Em 1931, este jovem matemático austríaco, Kurt Gödel, publicou um artigo que de uma vez por todas PROVOU que uma única Teoria de Tudo é realmente impossível.A descoberta de Gödel foi chamada de “O Teorema da Incompletude”..

”Você pode desenhar um círculo ao redor de todos os conceitos no seu livro de geometria do colégio. Mas eles são todos feitos sobre os 5 postulados de Euclides que claramente são verdade mas que não podem ser provados. Esses 5 postulados estão fora do livro, fora do círculo.Você pode desenhar um círculo ao redor de uma bicicleta, mas a existência dessa bicicleta depende de uma fábrica que está fora do círculo. A bicicleta não pode explicar a si mesma.Gödel provou que há SEMPRE mais coisas que são verdadeiras do que você pode provar. Qualquer sistema de lógica ou números que os matemáticos possam trazer sempre se baseará em pelo menos umas poucas suposições que não podem ser provadas.O Teorema da Incompletude de Gödel não se aplica somente à matemática, mas a tudo que está sujeito às leis da lógica. A incompletude é verdade na matemática, e é igualmente verdade na ciência, na linguagem ou na filosofia.E, se o Universo é matemático e lógico, a Incompletude também se aplica ao Universo.Gödel criou sua prova começando com o “Paradoxo do Mentiroso” — que é a afirmação:“Eu estou mentindo.”“Eu estou mentindo” é autocontraditória, já que, se é verdade, eu não sou um mentiroso, e, se é falsa, eu sou um mentiroso, então é verdade.Então Gödel, em um dos movimentos mais engenhosos da história da matemática, converteu o Paradoxo do Mentiroso em uma fórmula matemática. Ele provou que qualquer afirmação requer um observador externo.Nenhuma afirmação sozinha pode completamente provar a si mesma como verdadeira.O seu Teorema da Incompletude foi um golpe devastador no “positivismo” da época. Gödel provou o seu teorema preto no branco, e ninguém podia discutir com a sua lógica.Ainda assim, alguns de seus amigos matemáticos foram para o túmulo negando, acreditando que de alguma forma ou outra Gödel deveria certamente estar errado.Ele não estava errado. Era mesmo verdade. Existem mais coisas que são verdade do que você pode provar.Uma “teoria de tudo” – seja na matemática, na física ou na filosofia – nunca será encontrada. Porque é impossível.OK, o que isso então realmente significa? Por que isso é superimportante, e não apenas um factoide geek?

Isso é o que significa:

• Fé e Razão não são inimigas. Na verdade, o exato oposto é verdade! Uma é absolutamente necessária para que a outra exista. Todo o raciocínio ao final leva de volta à fé em algo que você não pode provar.

• Todos os sistemas fechados dependem de algo fora do sistema.

• Você pode sempre desenhar um círculo maior, mas existirá sempre algo fora do círculo.

• O raciocínio de um círculo maior para um menor é “raciocínio dedutivo.”

Exemplo de um raciocínio dedutivo:
1. Todos os homens são mortais
2. Sócrates é um homem
3. Portanto, Sócrates é mortal

• O raciocínio de um círculo menor para um maior é “raciocínio indutivo.”

Exemplos de raciocínio indutivo:
1. Todos os homens que conheço são mortais
2. Portanto, todos os homens são mortais
1. Quando eu largo objetos, eles caem
2. Portanto, há uma lei da gravidade que governa objetos de caem
Note que quando você se move do círculo menor para o maior, você tem que fazer suposições que não pode provar 100%.
Por exemplo: você não pode PROVAR que a gravidade sempre será consistente todas as vezes. Você só pode observar que ela é consistentemente verdadeira toda vez. Você não pode provar que o Universo é racional. Você só pode observar que fórmulas matemáticas como E = mc² parecem sim descrever perfeitamente o que o Universo faz.
Praticamente todas as leis científicas estão baseadas no raciocínio indutivo. Estas leis apoiam-se em uma afirmação de que o Universo é lógico e baseado em leis fixas que podem ser descobertas.
Você não pode PROVAR isto. (Você não pode provar que o sol virá amanhã de manhã também.) Você literalmente tem que usar a fé. Na verdade, a maioria das pessoas não sabem que além do círculo da ciência existe um círculo da filosofia. A ciência está baseada em suposições filosóficas que você não pode provar cientificamente. Realmente, o método científico não pode provar, só pode inferir.
(A ciência originalmente surgiu da ideia de que Deus fez um Universo ordenado que observa leis fixas e que podem ser descobertas.)
Agora por favor considere o que acontece quando desenhamos o maior círculo possível – ao redor de todo o Universo. (Se existem múltiplos universos, nós estamos desenhando um círculo ao redor deles todos também.):

• Tem que existir algo fora desse círculo. Algo que nós temos que assumir mas não podemos provar.

• O Universo como nós conhecemos é finito – matéria finita, energia finita, espaço finito e 13,7 bilhões de anos de idade.

• O Universo é matemático. Qualquer sistema físico sujeito a medição executa a aritmética. (Você não precisa conhecer matemática para fazer uma adição – você pode usar um ábaco em vez disso e ele lhe dará a resposta certa todas as vezes.)

• O Universo (toda a matéria, energia, espaço e tempo) não pode explicar a si mesmo.

• O que quer que esteja fora do maior círculo não tem limites. Por definição, não é possível desenhar um círculo ao redor dele.

• Se desenharmos um círculo ao redor de toda a matéria, energia, espaço e tempo e aplicar o teorema de Gödel, então saberemos que o que está fora desse círculo não é matéria, não é energia, não é espaço e não é tempo. É imaterial.

• O que quer que esteja fora do maior círculo não é um sistema – i.e. não é um conjunto de partes. De outra forma poderíamos desenhar um círculo ao redor delas. A coisa fora do maior círculo é indivisível.

• O que quer que esteja fora do maior círculo é uma causa não-causada, porque você sempre pode desenhar um círculo ao redor de um efeito.

Nós podemos aplicar o mesmo raciocínio indutivo à origem da informação:

• Na história do Universo, nós também podemos ver a introdução da informação, cerca de 3,5 bilhões de anos atrás. Ela veio na forma do código genético, que é simbólico e imaterial.

• A informação teve que vir de fora, já que a informação não é conhecida por ser uma propriedade inerente da matéria, energia, espaço ou tempo.

• Todos os códigos cuja origem conhecemos são projetados por seres conscientes.

• Portanto, o que quer que esteja fora do círculo maior é um ser consciente.

Em outras palavras, quando adicionamos a informação à equação, concluímos que a coisa fora do maior círculo não só é infinita e imaterial, como também é consciente.
Não é interessante como todas estas coisas soam suspeitamente similar a como os teólogos têm descrito Deus por milhares de anos?
Então é dificilmente surpreendente que entre 80 e 90% das pessoas do mundo acreditam em algum conceito de Deus. Sim, é intuitivo para a maioria do pessoal. Mas o teorema de Gödel indica que é também supremamente lógico. De fato, é a única posição que alguém pode tomar e ficar nos domínios da razão e da lógica.
A pessoa que orgulhosamente proclama: “Você é um homem da fé, mas eu sou um homem da ciência” não entende as raízes da ciência e a natureza do conhecimento!
Interessantemente à parte…
Se você visitar o maior website ateu do mundo, Infidels, na página inicial você encontrará a seguinte declaração:
“O Naturalismo é a hipótese que o mundo natural é um sistema fechado, o que significa que nada que não seja parte do mundo natural o afeta.”
Se você conhece o teorema de Gödel, você sabe que todos os sistemas lógicos devem contar com algo fora do sistema. Então, de acordo com o Teorema da Incompletude de Gödel, o Infidels não pode estar correto. Se o Universo é lógico, ele tem uma causa externa.
Assim, o ateísmo viola as leis a razão e da lógica.
O Teorema da Incompletude de Gödel prova definitivamente que a ciência não pode jamais preencher suas próprias lacunas. Nós não temos escolha a não ser procurar fora da ciência por respostas.
A Incompletude do Universo não é a prova que Deus existe. Mas… É a prova de, para se construir um modelo racional e científico do Universo, a crença em Deus não é somente 100% lógica… ela é necessária.
Os 5 postulados de Euclides não podem ser formalmente provados e Deus também não pode ser formalmente provado. Mas… assim como você não pode construir um sistema coerente de geometria sem os 5 postulados de Euclides, você também não pode construir uma descrição coerente do Universo sem uma Primeira Causa e uma Fonte de ordem.
Assim, fé e ciência não são inimigas, mas aliadas. Tem sido verdade por centenas de anos, mas em 1931 este jovem magricelo matemático austríaco chamado Kurt Gödel provou.
Em nenhuma época na história da humanidade a fé em Deus tem sido mais razoável, mais lógica ou mais amplamente apoiada pela ciência e pela matemática.